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什么数除以4 余数是3

admin 2020-02-25 彩票资讯
什么数除以4 余数是3: 3除以-4的余数是? : 带余除法的概念:若a,b是两个整数,其中b>0,则存在两个整数q和r,使得a=bq+r,0≤r<b成立,而且q和r是唯一的。可见带余除法是针对除数是正整数的除法运算,原题中除数是-4,不符合带余除法的概念。

其他答案:某数除以4,余数是3,这个数的3倍除以4,余数是1.

其他答案:商是-0.7, 余数是0.2

其他答案:3=-4*0+3,余数是3

其他答案:3

什么数除以4 余数是3: 有一个数,除以3余数是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几 : 将这个数看成A+B,A为可以被12整除的部分,B则为除以12的余数.A可以被12整除,则也可以被3或4整除.因为这个数“除以3余2,除以4余1”,所以B也是“除以3余2,除以4余1”,又因为B是大于等于1而小于等于11,在这个区间内,只有5是符合的.答:这个数除以...

其他答案:5

什么数除以4 余数是3: 【有一个数,除以3余数是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几... : 将这个数看成A+B,A为可以被12整除的部分,B则为除以12的余数.A可以被12整除,则也可以被3或4整除.因为这个数“除以3余2,除以4余1”,所以B也是“除以3余2,除以4余1”,又因为B是大于等于1而小于等于11,在这个区间内,只有5是符合的.答:这个数除... 什么数除以4 余数是3: 什么数除以4 5 6 余数等于3 : 最小是符合条件的时是456+3=459,即459÷456=1.。。。。3. 这个数可以表示为:456k+3,其中k为整数(或者为正整数)。

其他答案:就是一个数减去3后成为4,5,6的公倍数,通式为60n+3(n为整数),比如3,63,123等

其他答案:只要是5的倍数加1的数都是,但这样做是不对的,因为余数不能比除数大

其他答案:4*5*6*n+3 (n=1,2,3......)

其他答案:最小是63,要大的话往上加60。

什么数除以4 余数是3: 有一个数,除以3的余数是2,除以4的余数是1,则这个数除以12的余... : 设这个数为X,由条件“除以3的余数是2,除以4的余数是1”可知: X=4m+1=3n+2,其中m、n是整数 即:X=4(m-1)+5=3(n-1)+5 显然有:4(m-1)=3(n-1) 因为m、n都是整数,3和4互质,那么m、n必须满足m-1是3的倍数,n-1是4的倍数 即:4(m-1)=3(n-1)一定是12的倍数 令:4(m-1)=3(n-1)=12k,其中m、n、k是整数 则X可表示为:X=12k+5 所以:这个数除以12的余数是5. 可以验证,这个数可以是5、17、29、41、53、65、…… 收起回答

其他答案:这个数是5,5÷12的余数如下: 5÷12=0.41666666666666666666666666666667≈0.41667(五位数) 5÷12=0.41666666666666666666666666666667≈0.4167(四位数) 5÷12=0.41666666666666666666666666666667≈0.417(三位数) 5÷12=0.41666666666666666666666666666667≈0.42(两位数) 5÷12=0.41666666666666666666666666666667≈0.4(一位数) 我只列举5种,其实5除以12的商是无穷无尽,6是无穷无尽循环,你想要取多少位数呢?

其他答案:这是一个盈亏问题:(2-1)/(4-3)=1 1*3+2=5,1*4+1=5, 只有5符合前两个条件,要同时符合三个条件的数我算不出来。

其他答案:一个数除以5余2, 除以4余1. 那么符合条件的最小的数是17, 17÷12=1…5. 凡是20n-3的数,都符合条件, 37÷12=3…1, 57÷12=4…9, 77÷12=6…5, 97÷12=8…1 …… ∴这个数除以12的余数是1,或者是5,或者是9. 请速采纳,多谢合作.

其他答案:5

什么数除以4 余数是3:除以4的余数是3,问X除以12的余数是多少: 如果X除以4的余数是3,那么X除以12的余数是3、7或11,因为12是4的3倍数,X除以12的余数只能是X除以4的余数3、3+4或3+8。 什么数除以4 余数是3:一个数除以3后余数是2 除以4余数是3 除以5余数是四 请问这个数是几?: 看题可得这个数加上一可以同时被3,4,5整除。所以【3.4.5】=60 减去一等于59 但是题中没有提到求这个数最小是多少。所以 得到{59,118,……} 什么数除以4 余数是3:【国际数学竞赛】同余理论(Modulo)
本篇打算了很久,想从最基本的知识开始写,但是一想到那么细碎就迟迟没有写。现在就把这当作流水账来记吧,都是最基本的知识,大佬就不用看了。

从小学我们就知道 9div4=2cdots1 ,其中9为被除数、4是除数、2是商、1是余数,

而在竞赛中有这样一类关于余数的问题,比如:

如果遇到这道题我们可能一般就会通过找规律去求解,

1999div 5=399cdots4
1999^2div5=799200cdots 1
1999^3div 5=1597601199cdots4
……

这里会发现1999的奇数次余数都是4,偶数次余数都是1,所以1999的2000次除以5的余数为1。那么有没有什么好的方法来求解这类问题?下面我们来分享一下。

首先我们来讲解一下同余的知识:

在同余理论下还有一些简单的结论:

(1)对任意整数 n , n^2 除以3或4的余数只能是0或1;
(2)对任意整数 n , n^2 除以8的余数只能是0、1或4;
(3)对任意整数 n , nn 各数位上的数字之和除以9同余;

证明:

(1)证明的思路就是根据mod 3或4的余数进行分类讨论。

命题:对任意整数 n , n^2 除以3余数只能是0或1。
证明:
1) n=3k , n^2=(3k)^2=9k^2equiv 0~ (mod~3)
2) n=3k+1 , n^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1equiv 1~ (mod~3)
3) n=3k+2 , n^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4equiv 1~ (mod~3)
得证。
命题:对任意整数 n , n^2 除以4余数只能是0或1。
证明:
1) n=4k , n^2=(4k)^2=16k^2equiv 0~ (mod~4)
2)n=4k+1 , n^2=(4k+1)^2=16k^2+8k+1equiv 1~ (mod~4)
3) n=4k+2 , n^2=(4k+2)^2=16k^2+16k+4equiv 0~ (mod~4)
4) n=4k+3 , n^2=(4k+3)^2=16k^2+24k+9equiv 1~ (mod~4)
得证。

(2)命题:对任意整数 n , n^2 除以8的余数只能是0、1或4(略)。

注:这里可以仿照(1)的证明过程,分为 8k+i,iin {0,1,2,3,4,5,6,7} 进行讨论。

(3)命题:对任意整数 n , nn 各数位上的数字之和除以9同余。

证明:
n=overline{x_1x_2ldots x_n},x_iin{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},x_1neq0
n=x_1times 10^{n-1}+x_2times10^{n-2}+cdots+x_ntimes 10^0
n=x_1times(9ldots9+1)+x_2times(9ldots9+1)+dots+x_{n-1}times(9+1)+x_n
nequiv x_1+x_2+cdots+x_n~(mod~9)
得证。

进一步,对模 m 同余的一个等价关系(反身性、对称性、传递性):

进一步,还有以下的性质:

证明:
根据 aequiv b~(mod~m) , cequiv d~(mod~m) ,
a=mk_1+r_1,b=mk_2+r_1,c=mk_3+r_2,d=mk_4+r_2 ,
apm c=m(k_1pm k_3)+r_1pm r_2 , bpm d=m(k_2pm k_4)+r_1pm r_2 ,
因此, a pm c equiv b pm d(bmod m)
ac=m^2k_1k_3+m(k_1r_2+k_3r_1)+r_1r_2 , bd=m^2k_2k_4+m(k_2r_2+k_4r_1)+r_1r_2 ,
因此, a c equiv b d(bmod m)
根据上一条性质,很容易推得 a^{k} equiv b^{k}(bmod m)

如果知道了上述的性质那么我们再来看一下前面那道题。

解:因为 1999 equiv-1(bmod 5) ,所以 1999^{2000} equiv(-1)^{2000} equiv boxed{1}(bmod~5) .

可以看到,有了上述的知识我们可以把较大的底数化成较小的来运算。

那么这道题呢?

这道题与前面相比底数已经很小了,但是指数很大,不像前一题底数为 (pm 1) 这么简单。

当然我们也可以通过找规律的方法来求解:

2^1=2~(bmod~13),2^2=4~(bmod~13),ldots,2^{12}=1~(bmod~13)
余数分别是:2,4,8,3,6,12,11,9,5,10,7,1
每12个为一组,那么 1000=83times 12+4 ,
所以, 2^{1000}equiv boxed{3}~(bmod~13)

那么有没有什么方法能够快速得到循环周期是12呢?

这里可以借助欧拉定理(Format-Euler 定理):

有了上述定理求解还是非常快的:
因为 (2,13)=1 , 2^{12}equiv1~(bmod~13)
所以, 2^{1000}=2^{12cdot84+4}equiv2^4=16equivboxed{3}~(bmod~13)

下面来证明一下欧拉定理:

这里需要先定义完全余数集合:

有了欧拉定理我们可以解决下面的问题:

解:
2017^{2017} equiv 17^{2017}(bmod 100)
varphi(100)=40,4 times(100 div 10)=40 ,根据欧拉定理可知:
17^{40} equiv 1(bmod 100)
所以, 17^{2017} equiv 17^{17}(bmod 100)
最后我们只需要去依次计算 17^{n} 的最后两位就可以了,最后结果是 boxed{77} .

下面我们再来看一道题:

题意: left(begin{array}{c}{62}  {22}end{array}right) equiv ?(bmod 10)
【方法一】 left(begin{array}{c}{62}  {22}end{array}right) equiv frac{62!}{22!cdot 40!}(bmod 10)
第一步:计算 62!,22!,40! 中“5”的个数,62!中: leftlfloorfrac{62}{5}rightrfloor+leftlfloorfrac{62}{25}rightrfloor= 16 ,22!中: leftlfloorfrac{22}{5}rightrfloor+leftlfloorfrac{22}{25}rightrfloor= 4 ,40!中 leftlfloorfrac{40}{5}rightrfloor+leftlfloorfrac{40}{25}rightrfloor= 9
第二步:计算 62!,22!,40! 中“2”的个数,62!中: leftlfloorfrac{62}{2}rightrfloor+leftlfloorfrac{62}{4}rightrfloor+leftlfloorfrac{62}{8}rightrfloor+leftlfloorfrac{62}{16}rightrfloor+leftlfloorfrac{62}{32}rightrfloor= 57 ,22!中:
leftlfloorfrac{22}{2}rightrfloor+leftlfloorfrac{22}{4}rightrfloor+leftlfloorfrac{22}{8}rightrfloor+leftlfloorfrac{22}{16}rightrfloor+leftlfloorfrac{22}{32}rightrfloor= 19 ,40!中:
leftlfloorfrac{40}{2}rightrfloor+leftlfloorfrac{40}{4}rightrfloor+leftlfloorfrac{40}{8}rightrfloor+leftlfloorfrac{40}{16}rightrfloor+leftlfloorfrac{40}{32}rightrfloor= 38
第三步:根据第一步与第二步可知 left(begin{array}{c}{62}  {22}end{array}right) 是“5”的倍数,且因子中没有“2”是一个奇数,
因此, left(begin{array}{c}{62}  {22}end{array}right) equiv boxed{5} bmod 10

方法一是我们能想到的比较自然的想法,但其实有一种更加简单的方法,那就是借助Lucas定理:

【方法二】
利用Lucas定理我们先求解 left(begin{array}{c}{62}  {22}end{array}right)(bmod 5)left(begin{array}{c}{62}  {22}end{array}right)(bmod 2)
因为62_{(10)}=222_{(5)}, 22_{(10)}=042_{(5)}
left(begin{array}{c}{62}  {22}end{array}right) equivleft(begin{array}{c}{2}  {0}end{array}right)left(begin{array}{l}{2}  {4}end{array}right)left(begin{array}{l}{2}  {2}end{array}right) equiv 0(bmod 5)
类似的,
left(begin{array}{c}{62}  {22}end{array}right) equiv 1(bmod 2)
于是我们可以知道:
left(begin{array}{c}{62}  {22}end{array}right) equiv boxed{5} bmod 10 .

可以发现对于组合数的取余,我们用Lucas定理是非常快的就能够解决出来了,下面给出Lucas定理的一个简要证明:

下面给出一个同余方程问题:

对于上述同余方程组的问题,我们有中国剩余定理(孙子定理)求解:

利用定理能够很快的得到答案,但是计算量比较大,比较复杂,下面给出另一种方法:

Solution:
根据第一个方程及第二个方程,令 x=3 k+2,3 k+2 equiv 3(bmod 4)
所以, k equiv 3(bmod 4), k=4 t+3
kt 代替, x=3(4 t+3)+2=12 t+11
再带入第三个方程中, 12 t+11 equiv 1(bmod 5), 2 t equiv 0(bmod 5)
于是, t equiv 0(bmod 5), t=5 n
tn 代替,
最后, x=60 n+11, x equiv 11(bmod 60)

想了解更多关于国际数学竞赛及课程的知识,可参阅:

双木止月Tong:国际数学竞赛及课程

什么数除以4 余数是3:怎么简便运算出 12345678923÷17 的余数是 4?

17 太复杂了,为什么不能够直接这样呢?

这个"证明"是最简单的,并且小学生都会.这么小的数别搞那些花里胡哨的.

[有人对我用公式编辑器的长除法不满意啊,其实我自己也不满意啊.不怪我,要怪就怪知乎的公式编辑器太落后了,长除符号不支持.对了,如果要完美地用公式表示,知乎还得支持对齐符号,之前那个公式我就使用了(在MathType里),但是放知乎却诡异般偏移,对了我还是用的 14 阶方阵凑成的.现在用PS重新改成图片式的了,用了钢笔(贝塞尔曲线)+直线,花了大概 4 分钟来弄吧]

另外,有人认为这个不是证明.我上面的["证明"]加双引号的意思是,这个还缺论证 4 是余数的最后步骤,只是没用语言描述这个余数就是 4 而已.而上面的证明步骤已经完成到最后一步了.只需加上:由上长除法得, 12345678923div17 的余数为 4 ,因此命题得证.

这可不是不算证明.因为余数定义正是: [n = qm + r,left( {n,q,m,r in mathbb{N},0 leqslant r < m} right)]r ,而长除法是构造性地得到 q,r ,这个证明基本高代里,初等数论里都有这样的证明,具体不展开.

因此,通过长除得到的结果肯定是证明!


花哨的运算量不会比长除法少,因为 12345678923 这个数还是太小了,如果要用花哨解法,起码几十,几百或者几千位.那样的运算量才会显著减少,但这里,首先对除数 17 进行分析.分析的步骤可能都及得上上面那样的运算,这还只是个开头:仅仅只是对 17 的余数结构的分析!所以非要花里胡哨是不值得的.


首先说下几个重要的性质(下文的整数不做特别说明都指代正整数):

[1]同余三则运算法则(这里包括负数,即指全部整数.):

[begin{gathered}   a equiv bleft( {bmod m} right),c equiv dleft( {bmod m} right) hfill     Rightarrow left{ begin{gathered}   a pm b equiv c pm dleft( {bmod m} right) hfill    ac equiv bdleft( {bmod m} right) hfill   end{gathered}  right. hfill   end{gathered} ]

[2]欧拉 phi 函数:

[phi left( n right) = nprodlimits_{p|n} {left( {1 - frac{1}{p}} right)} ] ,(其中的 p 都是指素数)为 left{ 1,...,n right} 以内与 n 互质的整数的个数( 1与任何整数互质).

对于欧拉 phi 函数有欧拉定理:任意互质的两个整数 a,m 都有 [{a^{phi left( m right)}} equiv 1left( {bmod m} right)]

[3]整数的阶:

定义 [{operatorname{ord} _n}a] 是使得 [{a^x} equiv 1left( {bmod n} right)] 成立的最小整数 x ,称为na 的阶.对于此有定理: [{operatorname{ord} _n}a|phi left( n right)] .


然后我们利用以上定理来推论除以 17 的余数系统:

首先 17 是一个素数,因此根据欧拉定理得:

[{10^{16}} equiv 1left( {bmod 17} right)]

注意到 16 的素因数只有 2 ,所以考虑数 [2,4,8,16] (这些数都是 16 的因数):

另外注意到 17times5=17times10div2=85

[begin{gathered}   {10^2} equiv 17 times 5 - 70 equiv 15 equiv  - 2left( {bmod 17} right) hfill    {10^4} equiv {10^2} times {10^2} equiv 4left( {bmod 17} right) hfill    {10^8} equiv {10^4} times {10^4} equiv 16 equiv  - 1left( {bmod 17} right) hfill    therefore {operatorname{ord} _{17}}10 = 16 hfill   end{gathered} ]

由于 12345678923 长度为 11left( <16 right) ,因此我们需要把 [left{ {{{10}^0},{{10}^1},...,{{10}^{10}}} right}] 的余数求出(如果 [{operatorname{ord} _{17}}10 = 2,4,8] 就可以缩短需要求的余数量)

我们可以用乘法同余法则并同时考虑正负整数:

[begin{array}{*{20}{l}}   {{{10}^1} equiv 10 - 17 equiv  - 7left( {,bmod ,17} right)}     {{{10}^2} equiv  - 2left( {,bmod ,17} right)}     {{{10}^3} equiv {{10}^2} times {{10}^1} equiv left( { - 2} right) times left( 7 right) equiv 14 equiv  - 3left( {,bmod ,17} right)}     {{{10}^4} equiv 4left( {,bmod ,17} right)}     {{{10}^5} equiv {{10}^2} times {{10}^3} equiv left( { - 2} right) times left( { - 3} right) equiv 6left( {,bmod ,17} right)}     {{{10}^6} equiv {{10}^3} times {{10}^3} equiv left( { - 3} right) times left( { - 3} right) equiv 9left( {,bmod ,17} right)}     {{{10}^7} equiv {{10}^4} times {{10}^3} equiv 4 times left( { - 3} right) equiv  - 12 equiv  - 12 + 17 equiv 5left( {,bmod ,17} right)}     {{{10}^8} equiv  - 1left( {,bmod ,17} right)}     {{{10}^9} equiv left( { - 7} right) times left( { - 1} right) equiv 7left( {,bmod ,17} right)}     {{{10}^{10}} equiv left( { - 2} right) times left( { - 1} right) equiv 2left( {,bmod ,17} right)}  end{array}]

这样考虑十进制展开并通过乘法和加法同余法则得到:

[begin{array}{l} 12345678923  equiv left{ {begin{array}{*{20}{r}} 1&2&3&4&5&6&7&8&9&2&3 2&7&{ - 1}&5&9&6&4&{ - 3}&{ - 2}&{ - 7}&1 end{array}} right.  equiv 2 + 14 - 3 + 20 + 45 + 36 + 28 - 24 - 18 - 14 + 3  equiv 4left( {bmod 17} right) end{array}]

其中的大括号后面的两层数表示分别上下对应相乘并相加(相当于向量数量积)

你看到没,这个判断起来需要花费长除法大概两倍的运算量.其次,这个所做的只是看起来像是把除法的处理变成乘法和加法的处理罢了.因为 12345678923 的长度小于 16 又接近 16 .而且 17 并不是 [2,3,5,7,11,13] 这种素数.这就说明它并不那么"好".

(1)对于 [2,5] ,他们是 10 的因数,因此求对于 2^n5^n 的余数只需要考虑从个位数开始的前 n 位数即可.

例:

[16546543241406504654530132130216 div {2^5}] 的余数.由以上说明,我们只需要取从个位数开始的前 5 位:

[16546543241406504654530132130216 div {2^5}] 的余数等于 [30216 div {2^5}] 的余数.注意到 2^5=32 .使用长除法即可得到其余数为 8 ,也即 [16546543241406504654530132130216 div {2^5}] 的余数为 8 .

同理:求 [16546543241406504654530132130245 div {5^5}] 的余数等于 30245div5^5 的余数,因此是 2120 .

(2)对于 3,9 ,只需考虑把每一位的数字相加起来的和即可.

例:求 [{rm{813291698036525710871024690168003412125530194089div3}}] 以及 div9 的余数.

等于 [left( {{rm{8 + 1 + 3 + 2 + 9 + 1 + 6 + 9 + 8 + 0 + 3 + }}...{rm{9 + 4 + 0 + 8 + 9}}} right) div 3] 或者 div9 的余数.因此分别是 2,5

(3)对于 7,11,13 只需考虑从个位数开始的每 3 位为一组数(拆成至多三位数)交错相加(第一组为正,下一组改变正负性)的和即可.

例:求 [1021106068594697946551788765918277778334185399873] 分别除以 7,11,13 的余数:

首先(从个位数开始)分割成三位,三位一组:

[001|021|106|068|594|697|946|551|788|765|918|277|778|334|185|399|873]

从个位数(那一组)开始,依次交错相加:

[873 - 399 + 185 - 334 + 778 - 277 + 918 - 765 + ... - 068 + 106 - 021 + 001 = ]

[ = 2077]

由长除法得:

[begin{array}{l} 2077 div 7 = 296 cdots  cdots 5 2077 div 11 = 188 cdots  cdots 9 2077 div 13 = 159 cdots  cdots 10 end{array}]

这些余数就是原来的数所对应的余数,另:商当然不相等.

(4)而对于除此之外的可以由这些数作为因数组成的合数(由于这些数互质 [left{ {{2^n},left( {3或9} right),{5^n},7,11,13} right}] )可以利用孙子定理,通过分别对这些因数求余后,再由孙子定理得到总的(该合数的)余数.

例:

[1468980936601237394812528020461265793421934879630 div 576] 的余数.

注意到: [576 = 9 times 64 = 9 times {2^6}]

首先分别求得上数除以 9 的余数为 0 ,而除以 2^6 的余数为 14 .

由孙子定理得:

[x equiv 0 + 14 times 9 times Mleft( {bmod 576} right)] ,其中 [9M equiv 1left( {bmod {2^6}} right)]

一般来说,可以通过欧几里得算法或者欧拉定理并利用快速指数幂求 M .

这里提供欧几里得算法:

[begin{array}{l} 64 = 9 times 7 + 1 9 = 1 times 9 + 0 end{array}]

所以 [1 = 64 times 1 - 9 times 7,9left( { - 7} right) equiv 1left( {bmod 64} right)]

[begin{array}{l} x equiv 14 times 9 times left( { - 7} right)left( {bmod 576} right) x equiv  - 882 equiv 576 times 2 - 882 equiv 270left( {bmod 576} right) end{array}]

所以 [1468980936601237394812528020461265793421934879630 div 576] 的余数为 270 .

17 都不是这些数!这样,我们不论怎样做都是有点复杂的,这包括我们直接使用长除法.


另外给出另一位答主所提供的求法的详细原理,它基于一个定理,学过数论的话这个定理是非常显然的:

[4]定理:设 [n = 10b + a] ,除以 m 的余数( m10 互质)模 m 下的 e 倍等于 b+ae 除以 m 的余数.(这个 e 称为 10m 的逆。而逆是指使得 [10e equiv 1left( {bmod m} right)] 成立的 e )

[感谢 @李宁远 指出,原句是后面 b+ae 除以 m 的余数模 m 下的 e 倍,这个 b+ae 的余数已经在原基础上乘了 e 了,这个说法是错误的.我是很后来才注意到的,发现读着不顺才注意到这个逻辑关系]

特别的, mn 的因数当且仅当 [n div m] 的余数与 [left( {b + ae} right) div m] 的余数相同(即为0).

另外,如果考虑 a 为个位数,而 b 就是十位数以上的,那么我们可以通过这样反复迭代:

[begin{array}{l} n equiv xleft( {bmod m} right) 10b + a equiv xleft( {bmod m} right) b + ae equiv xeleft( {bmod m} right) 10b' + a' equiv xeleft( {bmod m} right) b' + a'e equiv x{e^2}left( {bmod m} right) ... end{array}]

这样记第 k 次执行后的 bab_ka_k .即也即有:

[{b_k} + {a_k}e equiv x{e^k}left( {bmod m} right)]

(其实这个过程就包含了该定理的证明了).

由欧拉定理得到: [e equiv {10^{phi left( m right) - 1}}left( {bmod m} right)] ,我们现在就来求对于 m=17e :

通过之前的关于 10^n17 的余数的结果,我们就可以得到:

[{10^{phi left( {17} right) - 1}} = {10^{15}} equiv {10^8} times {10^7} equiv left( { - 1} right) times 5 equiv  - 5left( {bmod 17} right)]

[补充一点:关于这里的 -5 是可变的还是不可变的,能不能换成 -10?

答:不能随便换,如果要换就要对其加上或减去任意整数倍 17 ,比如 -39,-22,+12,+29 等,都能把 -5 换掉,这个意义是指与 -5 在模 17 下是"相等的"]

所以一个数 n 满足式子 [n = 10b + a]

那么它是否整除 17 等价于 [b - 5a] 是否整除 17 .

用语文角度的描述是:一个数能否整除 17 和一个数截去个位数所留下的数减去原来个位数的五倍的差能否整除 17 同一结果.

如可以这样:

[begin{array}{l} 15345 equiv 1534 - 5 times 5 equiv 1509 equiv 150 - 9 times 5  equiv 105 equiv 10 - 5 times 5 equiv  - 15 equiv 2 ne 0left( {,bmod ,17} right) end{array}]

所以 17 不能整除 15345 也即 17 不是 15345 的因数.

(虽然说这里用同余符号是有点问题的,因为如果像上面那样不是 0 ,执行的每一步出现的同余号<像 15345equiv1534-5times5 >都是错的,所以这里的同余号有一种在其上面标 ? 的意义< _{equiv}^{?} >在,表示"是否同余".对此要么默认,要么换符号,我这里为了清晰度而更换为" rightarrow "(不表示趋于))

[begin{array}{l} 15345 to 1534 - 5 times 5 equiv 1509 to 150 - 9 times 5  equiv 105 to 10 - 5 times 5 equiv  - 15 equiv 2 ne 0left( {,bmod ,17} right) end{array}]

同理论证 [left( {12345678923 - 4} right)] 能否被 17 整除.

[begin{array}{l} 12345678923 - 4 = 12345678919  to 1234567891 - 45 equiv 1234567846left( {{mkern 1mu} bmod ,{mkern 1mu} 17} right)  to 123456784 - 30 equiv 123456754left( {{mkern 1mu} bmod ,{mkern 1mu} 17} right)  to 12345675 - 20 equiv 12345655left( {{mkern 1mu} bmod ,{mkern 1mu} 17} right)  to 1234565 - 25 equiv 1234540left( {{mkern 1mu} bmod ,{mkern 1mu} 17} right)  to 123454 - 0 equiv 123454left( {{mkern 1mu} bmod ,{mkern 1mu} 17} right)  to 12345 - 20 equiv 12325left( {{mkern 1mu} bmod ,{mkern 1mu} 17} right)  to 1232 - 25 equiv 1207left( {{mkern 1mu} bmod ,{mkern 1mu} 17} right)  to 120 - 35 equiv 85left( {{mkern 1mu} bmod ,{mkern 1mu} 17} right)  to 8 - 25 equiv  - 17 equiv 0left( {{mkern 1mu} bmod ,{mkern 1mu} 17} right) end{array}]

这是用上述定理(作为整除判断形式)论证 [{12345678923div17}] 的余数是 4 ,不过这个使用的前提是你必须知道 4 是余数结果.否则最终得不到 0 ,这我们也就白白浪费时间而只是去检验它是否能被整除!

用完整形式可以构造性地求解原来的数所对应的余数:

[begin{array}{l} 12345678923 equiv xleft( {bmod 17} right) 1234567877 equiv xeleft( {bmod 17} right) 123456752 equiv x{e^2}left( {bmod 17} right) 12345665 equiv x{e^3}left( {bmod 17} right) 1234541 equiv x{e^4}left( {bmod 17} right) 123449 equiv x{e^5}left( {bmod 17} right) 12299 equiv x{e^6}left( {bmod 17} right) 1184 equiv x{e^7}left( {bmod 17} right) 98 equiv x{e^8}left( {bmod 17} right) end{array}]

[x{e^8} equiv 98 - 102 equiv  - 4left( {bmod 17} right)]

[{10^8}{e^8} equiv 1left( {bmod 17} right)]

[ Rightarrow {e^8} equiv  - 1left( {bmod 17} right)]

[ Rightarrow x equiv left( { - 4} right){e^8} equiv 4left( {bmod 17} right)]

这是直接利用原定理推论得到.还是那句话,这需要你先前分析过 17 的余数结构,而不像长除法那样不需要考虑.这意味着会有一个"预计算时间".长期来讲,无论是直接考虑 10 进制形式,利用同余性质得到,还是通过 10 的逆的形式,并迭代计算得到.这些都要比长除法好.这应该发生在相当高位,如几十位.对于这边的方法都会将数分成 16 位长一组并分组求以及相加.能够发现这个性质就必须先分析 17 的余数结构,这才是长除法做不到的地方.所以说,不要用花哨的证法,最简单的长除解决之.

什么数除以4 余数是3:有一个数,除以3余2,除以4余1,则这个数除以12的余数是多少?怎么算?

在4的倍数里找一个除以3余2的,可以选择8。在3的倍数里找一个除以4余1的,可以选择9。将两者加起来得17,就满足除以3余2,除以4余1。凡是与17相差12的倍数的数也都符合这个要求,顾代求的数形为17+12n。故此数除以12的余数是5。

什么数除以4 余数是3:一个数除以3余2,除以4余3,这个数除以12余数是多少?

将这个数看成A+B,A为可以被12整除的部分,B则为除以12的余数.A可以被12整除,则也可以被3或4整除.因为这个数“除以3余2,除以4余1”,所以B也是“除以3余2,除以4余1”,又因为B是大于等于1而小于等于11,在这个区间内,只有5是符合的.故答案是:5.

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